解题｜轨迹定位法的灵活运用

从轨迹的角度寻找点的位置，可使问题变得一览无余、一目了然，因直观所以简单。

1.(2016北京卷)在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x₁, y₁)，点Q的坐标为 (x₂, y₂) ，且x₁≠x₂ ，y₁≠y₂ ，若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”。下图为点P、Q的“相关矩形”的示意图。

（1）已知点A的坐标为（1,0），

①若点B的坐标为（3,1），求点A、B的“相关矩形”的面积；

②点C在直线x=3上，若点A、C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；

（2）⊙O的半径为√2，点M的坐标为(m, 3）。若在⊙O上存在一点N，使得点M、N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围。

分析：

（1）①易得面积为2。

②由相关矩形的概念及正方形的性质可知，当相关矩形为正方形时，对应两点的所在轨迹为y=x+b或y=-x+b。

由此将A(1, 0)代入y=x+b或y=-x+b得所求直线为y=x-1或y=-x+1。

（2）这里包含3个轨迹：①M、N所在轨迹为直线y=x+b（或y=-x+b），②由M(m, 3)知M点所在轨迹为直线y=3，③N在圆O上。所以当直线y=x+b在下图黄色区域内平移皆符合要求（圆的两条切线之间），符合条件的M点范围即为黄色区域与直线y=3的公共部分。

如下图，易得1≤m≤5。（亦可代入A、B坐标求直线的表达式得M点坐标范围）

当M、N在直线y=-x+b上时，如下图，同理可得 -5≤m≤-1。

2.(2016年义乌卷)如图1，新定义：直线l₁、l、l₂，相交于点O，长为m的线段AB在直线l₂上，点P是直线l₁上一点，点Q是直线l上一点．若∠AQB=2∠APB，则我们称点P是点Q的伴侣点；

（1）如图1，直线l₂、l的夹角为30°，线段AB在点O右侧，且OA=1，m=2，若要使得∠APB＝45°且满足点P是点Q的伴侣点，则OQ=_________；

（2）如图2，若直线l₁、l₂的夹角为60°，且m=3，若要使得∠APB＝30°，线段AB在直线l₂上左右移动．

①当OA的长为多少时，符合条件的伴侣点P有且只有一个？请说明理由；②是否存在符合条件的伴侣点P有三个的情况？若存在，请直接写出OA长；若不存在，请说明理由．

分析：

（1）如下图，由∠AQB＝2∠APB＝90°（定线对定角）知Q点轨迹为以AB为直径的圆（定线对定角），由∠AOQ＝30°知圆心M到直线l的距离为1，即圆M与直线l相切，得OQ＝√3。

（2）①由∠AQB＝2∠APB＝60°，知点P的轨迹是以AB为弦点C为圆心的两段圆弧（定线对定角），其中∠ACB＝60°，只存在一个P点即当圆弧与直线l₁相切时。

如下图，当直线l₁与上段弧相切时，易求得OA＝2√3。

如下图，当直线l₁与下段弧相切时，易求得OA＝3+2√3。

②符合条件的P点变化情况只要看直线l₁与两段圆弧的交点（不包括A、B点）个数变化，如下图。

观察易知，当直线l₁与下圆相切时，求得OA=3-2√3。

如下图，当直线l₁与上圆相切时，求得OA=2√3。

先见森林，再寻树木，用轨迹定位法确定点的位置。其好处是：第一，直观明了简单易解；第二，全面严谨不易遗漏。

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